[SPI・数学]組み合わせ：積の法則[無料問題集]

組み合わせ問題の基本的な問題です。問題文中で気をつけるべきことは二つあり、一つ目が「同じ数字を何回用いても良い」という条件。二つ目が「いずれの位にも3が入っていない」という条件です。

一つ目の「同じ数字を何回用いても良い」ということは、257のように各数字を一回だけ使う以外にも、225や777のように重複する場合も許されます。

後々重複を許さない場合の問題も出てくるので、計算方法の違いを押さえておきましょう。

二つ目の「いずれの位にも3が入っていない」といった条件ですが、言い換えれば2・5・7の三つの数字で3桁の数字を何通り作れるか問われているのと同じ意味になります。

したがって以下のように考えます。

• 百の位になりうる数：2・5・7･･･3通り
• 十の位になりうる数：2・5・7･･･3通り
• 一の位になりうる数：2・5・7･･･3通り

求める3桁の個数は以下のようになります。

\[3\verb|(通り)| \times 3\verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| = 27 \verb|(通り)|\]

今度は特定の数字を使わないといった条件が消えました。

しかし、0が要素に入っていることに注意しましょう。

例えば023や005のように、百の位に0がつく数字は3桁といえません。(前者が2桁、後者が1桁です。)

逆に205や500のように十の位、一の位には0がついても問題ありません。

これらを踏まえると、

• 百の位になりうる数：2・3・5･･･3通り
• 十の位になりうる数：0・2・3・5･･･4通り
• 一の位になりうる数：0・2・3・5･･･4通り

求める3桁の個数は以下のようになります。

\[3\verb|(通り)| \times 4 \verb|(通り)| \times 4 \verb|(通り)| =48 \verb|(通り)|\]

今度は条件が「同じ数字は一度しか用いてはいけない」となっています。

これは百の位で2を使った場合、十の位では2を使うことはできず、残りの3・5・7の三つの中から選び、今度十の位で3を使った場合、一の位では2と3を使えないため、残りの5と7から選ぶような状況を言っています。

これらを踏まえると、以下のようになります。

• 百の位になりうる数：2・3・5・7･･･4通り
• 十の位になりうる数：4通り-1通り=3通り
• 一の位になりうる数：3通り-1通り=2通り

求める3桁の個数は以下のようになります。

\[4 \verb|(通り)| \times 3\verb|(通り)| \times 2\verb|(通り)|=24\verb|(通り)|\]