[SPI・数学]確率：和の法則[無料問題集]

まず、問題文の「どちらか1人だけがあたりを引く確率」に注目します。

これは言い換えると、「Aだけがあたりを引く」場合と、「Bだけがあたりを引く」場合の2通りがあります。

「Aだけがあたりを引く」場合

まず「Aだけがあたりを引く」場合を見てみましょう。

Aがあたりを引く確率は、二項定理の公式を使って求めればよいです。

全部で5本のくじがあるので、全体の引き方は$_5 C _1$で5通りです。

また、あたりは2本あるので、あたりの引き方は$_2 C _1$で2通りとなります。

ここで確率の公式、$\frac{求める場合の数}{全ての場合の数}$に、求める場合の数にあたりを引く引き方の2通りを、全ての場合の数にくじの引く引き方の5通りを当てはめます。

したがってその確率は$\frac{2}{5}$となります。

このとき、Aだけがあたりを引くので、Bはあたりを引いてはいけません。したがってBがはずれを引く確率を求めます。

全部で$5-1$本のくじがあり、はずれの本数は3本なので、確率は$\frac{3}{4}$となります。

ここから、「Aがあたりを引く確率」と「Bがはずれを引く確率」を積の法則を用いて計算すると、以下のようになります。

$$\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$$

これよりAだけがあたりを引く確率は$\frac{3}{10}$です。

「Bだけがあたりを引く」場合

次は「Bだけがあたりを引く」場合を考えます。

Aがはずれを引く確率は5本中3本なので$\frac{3}{5}$です。

Bがあたりを引く確率は4本中、残り2本のため$\frac{2}{4}$です。

これをAのとき同様に積の法則で求めればよいため、以下のような式になります。

$$\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$$

これよりBだけがあたりを引く確率は$\frac{3}{10}$です。

求めたそれぞれの確率を最後に和の法則で足し合わせます。

$$\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$$

したがって、片方だけがあたりを引く確率は$\frac{3}{5}$です。

ハートを引く確率は$\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$で、ハート以外を引く確率は$\frac{52-13}{52} = \frac{3}{4}$です。

したがって、「1枚だけハートのカード」となる確率は以下のように求められそうです。

$$\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$$

しかし、問1でもあったように1回目がハートで2回目はハート以外なのか、1回目がハート以外で2回目がハートなのかをしっかりと分けて考える必要があるので、このままでは正解できません。

1回目がハートで2回目はハート以外の場合は以下の式で問題ありません。

$$\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$$

1回目がハート以外で2回目がハートの場合の式は以下のようになります。

$$\frac{3}{4} \verb|[1回目はハート以外]| \times \frac{1}{4} \verb|[2回目はハート]|= \frac{3}{16}$$

これらを足し合わせましょう。

$$\frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{3}{8}$$

答えは$\frac{3}{8}$です。