[SPI・数学]組み合わせ：天びん[無料問題集]

まずはじめに\(10g\)・\(50g\)・\(100g\)、それぞれのおもりで測れる重さを見ていきます。

• \(10g\)が2つ：\(0g\)・\(10g\)・\(20g\)･･･3通り
• \(50g\)が1つ：\(0g\)・\(50g\)･･･2通り
• \(100g\)が2つ：\(0g\)・\(100g\)・\(200g\)･･･3通り

この\(10g\)なら3通り、\(50g\)なら2通り、\(100g\)なら3通りからそれぞれ1ずつ選ぶことになります。

例えば、\(70g\)を測りたい場合は\(10g\)の中からは\(20g\)を、\(50g\)の中からは\(50g\)を、\(100g\)の中からは\(0g\)を選ぶ事で\(70g\)になります。

要するに以下のように、積の法則を用いて式を立てられます。

\[3 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| = 18 \verb|(通り)|\]

しかしここで終わりではありません。

最後に、\(10g\)・\(50g\)・\(100g\)の中からそれぞれ\(0g\)を選んだ場合を見てみましょう。

これはおもりを1個も乗せていないことを意味しており、問題文の「少なくとも1つのおもりを乗せる」条件に当てはまらないのでカウントしてはいけません。

したがって先程求めた18通りから1通り引く必要があり、以下のような計算になります。

\[18 \verb|(通り)| – 1 \verb|(通り)| = 17 \verb|(通り)|\]

よって17通りが答えとなります。

問1と同様に\(10g\)・\(50g\)・\(100g\)、それぞれのおもりで測れる重さを見ていきます。

• \(10g\)が7つ：\(0g\)・\(10g\)・\(20g\)・\(30g\)・\(40g\)・\(50g\)・\(60g\)・\(70g\)･･･8通り
• \(50g\)が1つ：\(0g\)・\(50g\)･･･2通り
• \(100g\)が2つ：\(0g\)・\(100g\)・\(200g\)･･･3通り

ここから、先程のように以下の通り計算し、全て0個のときのパターンを引き47通りとなります。

\[8 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| – 1 \verb|(通り)|= 47 \verb|(通り)|\]

しかし今回は\(10g\)のおもりが7個あることにも注意しなければなりません。

例えば、\(60g\)を作るとき、\(10g\)・\(50g\)・\(100g\)をそれぞれ、6個・0個・0個選ぶ場合と、2個・1個・0個選ぶ場合があり、先程の数え方をすると、これらを重複して数えることになってしまいます。

このように2通りの作り方がある重さを探していきます。すると、以下の10パターンについては2通りの作り方があることが分かり、計算上重複して数えていることが分かります。

\(50g\)・\(60g\)・\(70g\)・\(100g\)・\(110g\)・\(120g\)・\(150g\)・\(160g\)・\(170g\)・\(200\)

したがって、この重複する10通りを引きます。

\[47 \verb|(通り)| – 10 \verb|(通り)| = 37 \verb|(通り)|\]

これより、37通りとなります。